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2% . 4+ 4662答案.pdf文件预览7/14则an = 1 +2-2+22-2(2) ①解：因为f(x)=x²+6sinx，x∈(0,+ ∞o)，所以f"(x)=3x²+6cosx,设g(x)= f"(x)，则g'(x)= 6(x- sinx),0 xso - I = (x),y*(0 x)xus -x= (x)y所以h(x)在(0,+∞o)上单调递增，“0<(x),0 =(0)y<(x)y“0f"(0)=6 >0,所以f(x)在D上单调递增.②证明：因为[αn}是f(x)的“α-和谐数列”，p_upan-aan-a因为f"(x)在(0,+∞)上单调递增，所以F"(x)在(0,+∞)上单调递增，所以当x∈(0,αn+i)时，F'(x)<0，F(x)单调递减;当x E(an+1,+∞o)时，F'(x)> 0，F(x)单调递增;设G(x) =F(x)-F(2an+1 -x)，xE(0,an+1),“(x-+uz)+ (x) = (x),+ G"(an+1)= 0,所以G(x)在(0,an+1)上单调递增，所以G(x)< G(an+1) = 0,即F(x)F(a)=F(an),又 2an+1-a>an+1,an>an+1F(x)在(an+1,+∞o)上单调递增,

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