20.解:(1)设椭圆方程为写 二=1,由题意知b=3,2a=23=4,a=2,所求椭圆的标准方程为三 sin 605分(2)设A(x1,y),B(x2,y),A、B关于坐标原点O对称,CA=(x1 4,y),CB=(x2 4,y),CA·CB=(x1 4,y)·(x 4,y)=xx2 4(x x) 16 yy=x1x2 16 yy2当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx,代人椭圆方程二 了-1得nn=-312=-1CA·CB=n1x2 16 yy=16~12(k2 3 4k3 4k由于k可以取任何实数,故CA·CB∈[12,13).当AB与x轴垂直时,CA=(4,3),CB=(4,-√3),∴cA.cB=16-3=13综上可得CA·CB∈[12,13]…………12分
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