数学周报 2020~2021学年第37期 湘教版 答案

16.x2=y:(2.1)设A(x1,y),B,的)由题意可得直线/的方程为y=x 上联立 2整理得py.2-2px-p2=0.所以n x2=2p,n1n2=-p2,则x1-x2|=√(x1 x2)2-1m1x2=22p,故|AB|=√F2 1|x1-x21=1.设M(x,y).由题意可知当直线过点M.且与抛物线C相切的直线平行时△MB的面积取最大值因为y=1x2所以y=1x.所以直线的斜率k=1=1所以x0=p,则Mp.),此时点M到直线1的距离d==2,故号×1×=:,解得p=2,故抛物线C的方程为x2=4y.此时,点M的坐标为(2,1)

21.1)解:由题意知1b=1a2=b2 c2解得/a=2b=1所以椭圆C的标准方程为 y2=1.(2)证明:作点P关于x轴的对称点P(图略),由椭圆的对称性可知,点P在椭圆C上且∠PAB=∠PAB,∠QBA=∠PBA又∠PAB ∠QAB=180°,所以∠PAB ∠QAB=180°,故点P,A,Q三点共线由题意可设直线PQ的方程为x=(y m(m≠0)P(x1:y),Q(x2,y),A(xA,0),B(xB,0),r=ty m联立消去x并整理得(r 4)y2 2mty m2-4=0 则有 y=-2 4y1·y=P 4·…因为∠PBA=∠QBA,所以kB km=0,即 -22=0,g…1=B.B所以y1(ty m-xB) y(ty1 m-xB)=0,即r(n2mt(m-rB)t2 4t2 4=0,解得x因为xA=m,所以A·B=端故点A,B的横坐标之积为定值4⊙

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