2020~2022秋广东数学周报北师大答案

12B当x=e时,me,e2≥1,可得m>0.①当0 0,不等式显然成立;②当x≥1时,不等式mem2≥hnx可化为mx2en2≥xhnx,两边取对数有ln(mx2) mx2≥lnx ln(nx),令g(x)x 1nx,可得g(mx2)≥g(lnx),又由函数g(x)单调递增,有mx2≥x,得m≥,令h(x)=1x,有h)==212=121(≥),由b(1>0有1< <后,可得函数()的增区间为()减区间为g, ∞),有h(x)m=m公、y,故实数m的取值范围√e, ∞)< p>

21.解:(1)由f(x)=2(x 1)e-a有f(1)=4e-2a,f(1)=2e-2分切线l的方程为y-(2e-a)=(4-2a)(x-1),代入点(0,-2e-1)有-2e-1-(2e-a)=-(4e-2a),解故实数a的值为-1,4分(2)函数f(x)的定义域为(0, ∞),由f(x)=2(x 1)e-a-x=2(x 1)e(x 1)(x 1)(2e2-x 1)(2re=a),……5分①当a≤0时,f(x)>0,此时函数f(x)单调递增,最多只有一个零点;………………………………6分②当a>0时,令g(x)=2xe-a(x≥0),由g(x)=2(x 1)e>0可知函数g(x)单调递增,又由g(0)=-a<0,g(a)=2ae-a=a(2e-1)>0,可得存在a∈(0,a),使得g(r)=0,有moe=y,可知函数f(x)的减区间为(0,x),增区间为(x, ∞)若函数f(x)有两个零点,必有f(x)=2xoe'o-an-alnn=a-a(x lnxo),=g-aIn roeo =a-aln -=a(l-In -) 2e又由f(e“)>-ae--ala2-4-g(ae-110分令A(x)=x-1mx,有(x)=1-1=工1,令h(x)>0可得x>1,故函数A(x)的增区间为(1, ∞),减区间为(0,1),有h(x)≥h(1)=1,当x>lna时,e>a,f(x)=x(2e-a)-alnx>ax-alnx=a(x-lnx)≥a>0,可得此时函数f(x)有两个零点由上知,若函数f(x)有两个零点,则实数a的取值范围为(2e, ∞)分

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