人教版数学周报七年级上册2021-2022年答案

21.(本小题满分12分)解:(1)已知椭圆C关于x轴、y轴都对称,设其方程为mx2 ny2=1(这样设可回避焦点在哪条轴上的分类讨论)由A(0,√3,B1在椭圆上,得3n=1,m -n=1,联立解得m=-,n=-,得椭圆C的方程是x y=1.………(4分)43用a,b,c依次表示椭圆的长半轴、短半轴、半焦距,则a2=4b2=3,c2=a2-b2=1,则a=2,b=√3,c=1所以,椭圆C的离心率e=C=,焦点坐标为F(-1,0,EA,0……………………(6分)(2)设D(x,y),则 y=1,即x2=4-y2(-3≤y≤√3),DAP=(x-03 (y-√5y=4-5y2| 02-25y 3)=-5( 35) 16函数D=f(y)=-(y 33)2 16在区间[-5,√]上递减,则|D4取最大时,y=-3,此时x=0,所以,椭圆C上到点A最远的点是D(0,-√3)设椭圆C在点B,-处的切线l的方程为y =k(x-1),即y=kx-k与 2=1联立消去y后整理得(3 4k2)x2-4k(2k 3)x (2k 32-12=0,判别式△=16k2(2k 3)2-4(4k2 3)[(2k 3)2-12]=36(2k-1)2,由相切条件得△=36(2k-1)2=0,k=,所以椭圆C在点B14-29)处的切线1的方程是y2x-2,令x=0,得y=-2,得切线l与y轴的交点坐标E(O,-2)设△BDE外接圆的方程为x2 y2 mx ny p=0,由三点B1,-3,D0,-√5,E(0-2)都在圆上,1 2n p 得{n p 3=0,解得{n=2 21 2√√32n P 4=0,=2√3,1 2√3,3所以△BDE外接圆的圆心坐标是82(12分)

21.【思维导图】(1)a=e时,f(x)=x(e2-e)e(Inx-e)-(x)=(x D(ze-e(x>令f'(x)=00y=xe'-e在(0, ∞)上单调递增→f'(x)的符号一→f(x)的单调性一→结果(2)f(x)=(x 1)(xe-a)令g()=xe-0g(x)=xe-a在(0, ∞)上单调递增,且g(0)<0,g(a)>0—存在唯一的x0∈(0,a),使得g(x0)=0—xe=a- x0 lnxo=lna(x)≥f(x0)=a-ahna a2f(x0)令h(a)=a h'(a)=f(x)≥2a h(a)的单调性h(a)≥0—f(x0)≥2解:(1)当a=e时f(x)=x(e-e)-e(lnx-∫'(x)=(x 1)e2-e-=(x 1)(xe2-e)(x>0),(易错:求导法则应用不熟练,将导函数求错)(1分)令f(x)=0,易得x=1(2分)因为y=xe-e在(0, ∞)上单调递增,所以x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,x∈(1, ∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增(4分)故当x=1时,f(x)取得极小值,且极小值为f(1)=e2f(x)无极大值(5分)(2)因为∫(x)(x 1)(xe2-a)且g(x)re-a在(0, ∞)上单调递增,(0)所以存在唯一的x∈(0,a),使得g(x0)=0,即f'(x0)=0,(虚设零点)(6分)所以Wne=a得x lnxo=lna(7分)x∈(0,x0)时,f(x)单调递减,x∈(x0, ∞)时,f(x)单调递增所以f(x)≥f(x0)=x(e-a)-a(hnx-a)=aa(xo In xo) a=a-aln a a(8分)f(xo)-2a=a-aln a a-2a=a2-a-aln a=a(a(9分)设h(a)=a-1-na,则h'(a)=1-1=a-1(a>0)a∈(0,1)时,h'(a)<0,h(a)单调递减,a∈(1, ∞)时,h'(a)>0,h(a)单调递增所以h(a)≥h(1)=0,(11分)所以f(x0)≥2a,故f(x)≥2a.(关键:求解本题的关键是把f(x)的最小值f(x0)表示成关于a的函数,再证明f(x0)≥2a)(12分)

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