数学周报 2022-2022 第二期答案

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解析:证明∴f(x)可x-4a x 9 c2x-4a-(x 9b) c=4a 9b c当且仅≤0时取“=”)4a 9b c=4,(4分)(1)要证ab b a≥9abc,只需证- ≥9,由树西不等式得(4 9 x1 1与)2(2√ax一 36× 、x一)=(2 3 0)2=36(当且仅当2a=3b=C=了时取“一”)1 1 2≥9,从动 9h,(6分(2)由基本不等式可得,4a %b≥123a,9b c≥6k·c 4a≥4a以上三式当且仅当4=9=C=时同时取“=”)将以上三式相加得12 6bc 4G≤4a 9b 9b c c 4a=8即6 3 20≤4、(10分)

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21.(1)解:因为f(x)=(x-1)e-ax3,所以f(x)=x(e-3ax)1分由题意可得方程f(x)=0有两个正实根即a=在(0, ∞)上有两解设g(x)=(x>0),则g(x)=-3x>0)2分当0 1时,g(x)>0,则g(x)在(1, ∞)上单调递增故g(x)≥g(1)=.…1分当x-0时,g(x)→ ∞;当x ∞时,g(x)→ ∞故a的取值范围为3∞).………………………5分eln=0(2)证明:由(1)可知x1,x2是方程e-3ax=0的两根,则6分e2-3ar2=0,所以 e2-3(x n2)=0,…7分e1-e2-3a(x所以十e二,即白=Le二8分1 设t=皇,m=e12-1,则1m=1=m9分从而(1 m)(1-t)=(1-m)(1 t),即m=t.10分因为x2>2x1>0,所以t=2>2,即m>2,11分则e2-n>2,故x2-x1>ln2.12分

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