2022春数学周报安徽专版八年级答案

21.解:(1)由题意可知,函数∫(x)的定义域为(0,十∞),因为函数f(x)在区间[1,十∞)上为增函数,所以f(x)≥0在区间[1, ∞)上恒成立,等价于x2 x-a≥0在区间[1, ∞)上恒成立,即a≤(x2 x)因为x2 x≥2,所以a≤2故a的取值范围为(-∞,2](2)证明:由(1)可知g(x)=xlnx x2 a-(a 1)x2-r-rInr(.rta所以g(x)=lnx-2ax因为g(x)有两个不同的极值点x1,x2,所以lnx1=2axI, In x2=2ax2欲证x1·x2>e3等价于证ln(x1·x2)>lne3=3,即证lnx1 2lnx2>3也即证ax1 2ax2>,因为0 1,上式等价于lnt>3(1(>1)令h(1)=lt-3(t-1) 2,则h(1)=3(1 2t)-6(t-1)(t-1)(4t-1)(1 2t)2t(1 2t)2因为t>1,所以h(t)>0,所以h(t)在区间(1, ∞)上单调递增因此当t>1时,h(t)>h(1)=0,即1nc3(4-1)所以原不等式成立,即x1·x2>e3

16.解析:取PF2的中点A,则由(OP OF2)·F2P=0得2OA·F2P=0,即OA⊥F2P在△PF1F2中,OA为△PF1F2的中位线,所以PF1⊥PF2,所以PF112 PF2|2=(2c)2又由双曲线定义知|PF1|-|PF2=2a,且PF1/3|PF2|,所以(3-1)c=2a,解得e=√3 1答案:3 1

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